Пожалуй, большая часть школьников согласится, что главные законы неизменного тока довольно ординарны. И законы Ома, и закон Джоуля— Ленца просто уяснить и нетрудно использовать. Но, к огорчению, эта простота кончается при переходе к участку цепи, содержащему источники тока. Начнем с того, что закон Ома для такового участка — назовем его обобщенным законом Ома для участка цепи — в школе вообщем не проходят, а он очень полезен как для решения задач, так и для более глубочайшего осознания теоретических вопросов. Как мы увидим, делая упор на обобщенный закон Ома, можно лучше разобраться в энергетических соотношениях для участка цепи с источником тока.
Обобщенный закон Ома
Обсудим поначалу физический смысл закона Ома, относящегося к участку цепи, содержащему только безупречный резистор. Закон Ома утверждает, что для поддержания тока на участке к нему нужно приложить неизменное напряжение, при этом сила тока и напряжение пропорциональны друг дружке: U = IR. Но это значит, что для поддержания направленного движения свободных зарядов на них должна действовать неизменная сила со стороны электрического поля \(~\vec E\). В случае участка цепи без источников это поле является электростатическим\[~\vec E = \vec E_\] , оно создается самими зарядами проводника. (В процессе установления тока заряды вдоль всей цепи за очень куцее время перераспределяются таким макаром, дабы сделать необходимое поле.) Переформулируем закон Ома следующим образом: если ток на участке цепи поддерживается полем \(~\vec E\), то сила тока пропорциональна работе этого поля по переносу единичного заряда с 1-го конца участка на другой. Напомним, что в случае электростатического поля эта работа равна разности потенциалов.
Обозначим один конец участка цифрой 1, а другой цифрой 2 и запишем закон Ома в виде
где U12 = φ1 — φ2, I12 = +I, если ток течет от 1 к 2, и I12 = —I для тока, текущего навстречу движению, т.е. от 2 к 1. Такая форма записи, позволяющая передвигаться по участку цепи в любом направлении, очень комфортна.
Сейчас представим, что на этом же участке цепи действуют посторонние силы. Вспомним, что численной чертой посторониих сил является ЭДС (электродвижущая сила), которая определяется как работа посторониих сил по переносу единичного заряда с 1-го конца участка цепи на другой. Определим величину ε12 как работу посторониих сил по переносу единичного заряда от 1 к 2, т.е. ε12 = +ε, если посторонние силы ориентированы по движению (от 1 к 2), и ε12 = —ε в обратном случае (рис.1).
Направленное движение зарядов на участке цепи сейчас поддерживается как электростатическим полем \(~\vec E_\), так и полем посторониих сил \(~\vec E_\). Поточнее, оно определяется суммарным полем \(~\vec E = \vec E_ + \vec E_\), и так как заряды не могут «отличить» суммарное поле от чисто электростатического, то уместно представить, что сила тока так же находится в зависимости от суммарного поля, как ранее (в отсутствие источников) она зависела от электростатического поля. А конкретно, сила тока пропорциональна работе суммарного поля \(~\vec E\) по переносу единичного заряда с 1-го конца участка на другой. Эта работа состоит из 2-ух частей — из работы электростатического поля, равной разности потенциалов, и из работы посторониих сил, равной, по определению, ЭДС:
\(~I_ R = \varphi_1 — \varphi_2 + \varepsilon_\) , (1)
где R — сопротивление участка цепи, включая внутреннее сопротивление источника.
Снова сформулируем правила символов. Если направление тока на рассматриваемом участке непонятно, то его выбирают произвольным образом (если после расчетов получится I < 0, означает, действительное направление тока обратно избранному, но величина тока найдена верно). При движении от точки 1 к точке 2 нужно записать I12 = I, если мы идем по току, и I12 = —I, если против. Если мы идем по посторонним силам, то ε12 = ε, а если против, то ε12 = —ε. К примеру, для рисунка 2 получаем
\(~-IR = \varphi_1 — \varphi_2 + \varepsilon\) .
Разберем сейчас несколько примеров на использование обобщенного закона Ома.
Вывод закона Ома для полной цепи
Разглядим замкнутую неразветвленную цепь. Начнем с простого варианта, когда в цепи имеется только один источник тока (рис.3).
Ток течет в направлении посторониих сил этого источника; пройдя контур в этом направлении, запишем обобщенный закон Ома для участка с источником и для участка с наружным сопротивлением:
\(~\begin Ir = \varphi_1 — \varphi_2 + \varepsilon \\ IR = \varphi_2 — \varphi_1 \end\) .
Складывая эти уравнения, получаем
\(~I(r + R) = \varepsilon\) .
Разности потенциалов сократились, так как работа электростатических сил по замкнутому контуру равна нулю. В случае многих источников направление тока заблаговременно непонятно; избираем его произвольно и проходим контур в этом направлении. Записав надлежащие уравнения, получим
\(~I \sum R_i = \sum \pm \varepsilon_i\) .
(разности потенциалов снова сократятся, так как потенциал каждой точки повстречается два раза, но с различными знаками). Если сила тока окажется отрицательной, то направление тока нужно поменять на обратное.
Правила Кирхгофа
Перейдем сейчас к рассмотрению разветвленной цепи. В качестве определенного примера использования общих правил будем применять цепь на рисунке 4. Задачка — отыскать токи на всех участках цепи.
В любом случае начинают с того, что произвольным образом выбирают направления неведомых токов. Так как при протекании токов через хоть какой узел на нем не должен скапливаться заряд, алгебраическая сумма входящих в этот узел токов и токов, выходящих из узла, должна быть равна нулю. (Принято входящие токи брать со знаком плюс, а выходящие — со знаком минус.) Это — 1-ое правило Кирхгофа, либо правило узлов. Его можно записать для каждого из n — 1 узлов. Для получения оставшихся уравнений поступают так: выбирают случайный замкнутый контур и обходят его в случайном направлении. Если записать на каждом участке обобщенный закон Ома, а позже сложить приобретенные уравнения, то разности потенциалов сократятся, и мы придем к уравнению
\(~\sum \pm I_i R_i = \sum \pm \varepsilon_i\) ,
где правила символов соответствуют описанным ранее. Это — 2-ое правило Кирхгофа. Для схемы на рисунке 4 получаем такую систему уравнений:
\(~\left\
