Длина хоть какой окружности больше собственного поперечника в одно и то же число раз, а конкретно, примерно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины применяется малая (строчная) греческая буковка π (пи):
| C | = π. |
| D |
Таким макаром, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на поперечник (D), либо умножив π на двойной радиус, так как поперечник равен двум радиусам. Поэтому, формула длины окружности будет смотреться так:
C = πD = 2πR,
где C — длина окружности, π — константа, D — поперечник окружности, R — радиус окружности.
Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также именовать длиной круга либо периметром круга.
Задачи на длину окружности
Задачка 1. Отыскать длину окружности, если её поперечник равен 5 см.
Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на поперечник, то длина окружности с поперечником 5 см будет равна:
Ответ: 15,7 см.
Задачка 2. Отыскать длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.
Решение: Поначалу найдём поперечник окружности, умножив длину радиуса на 2:
D = 3,5 · 2 = 7 (м),
сейчас найдём длину окружности, умножив π на поперечник:
Ответ: 21,98 м.
Задачка 3. Отыскать радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.
Решение: Дабы отыскать радиус окружности по её длине, нужно длину окружности поделить на 2π:
| R | = | C | , |
| 2π |
поэтому, радиус будет равен:
| R | ≈ | 7,85 | = | 7,85 | = 1,25 (м). |
| 2 · 3,14 | 6,28 |
Ответ: 1,25 м.
Задачи на площадь круга
Задачка 1. Отыскать площадь круга, если его радиус равен 2 см.
Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:
S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).
Ответ: 12,56 см 2 .
Задачка 2. Отыскать площадь круга, если его поперечник равен 7 см.
Решение: Поначалу найдём радиус круга, разделив его поперечник на 2:
сейчас вычислим площадь круга по формуле:
S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).
Данную задачку можно решить и другим методом. Заместо того дабы поначалу отыскивать радиус, можно пользоваться формулой нахождения площади круга через поперечник:
S = π D 2 ≈ 3,14 · 7 2 = 3,14 · 49 = 4 4 4
= 153,86 = 38,465 (см 2 ). 4
Ответ: 38,465 см 2 .
Задачка 3. Отыскать радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .
Решение: Дабы отыскать радиус круга по его площади, нужно площадь круга поделить π, а потом из приобретенного результата извлечь квадратный корень:
Окружность, круг, сектор, сектор. Формулы и характеристики
Определение. Окружность — это совокупа всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки О, которая именуется центром окружности.
Определение. Единичная окружность — окружность, радиус которой равна единице.
Определение. Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.
Определение. Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до хоть какой точки окружности.
Определение. Поперечник окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.
Главные характеристики окружности
1. Поперечник окружности равен двум радиусам.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Посреди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет самую большую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Формулы длины окружности и площади круга
Формулы длины окружности
1. Формула длины окружности через поперечник:
2. Формула длины окружности через радиус:
Формулы площади круга
1. Формула площади круга через радиус:
2. Формула площади круга через поперечник:
Уравнение окружности
1. Уравнение окружности с радиусом r и центром сначала декартовой системы координат:
2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:
r 2 = ( x — a ) 2 + ( y — b ) 2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:
| { | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Касательная окружности и ее характеристики
Определение. Касательная окружности — ровная, которая касается окружности исключительно в одной точке.
Главные характеристики касательных к окружности
1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой скрещения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку скрещения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
Секущая окружности и ее характеристики
Определение. Секущая окружности — ровная, которая проходит через две точки окружности.
Главные характеристики секущих
1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в 2-ух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков 2-ух секущих равны между собою:
2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая ровная, что пересекает окружность в 2-ух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
