3 уравнения по законам кирхгофа

Законы Кирхгофа применяют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех веток схемы число веток, содержащих источники тока, — и число узлов у. В каждой ветки схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неведомых токов приравнивается в — Перед тем как составить уравнения, нужно произвольно избрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, к примеру по часовой стрелке.

Дабы получить линейно независящие уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов без единицы, т. е.

Уравнение для последнего узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, приобретенным при суммировании уже составленных уравнений для узлов, так как в эту сумму входили бы два раза и с обратными знаками токи веток, не подходящих к узлу, а токи веток, подходящих к узлу, входили бы в эту сумму со знаками, обратными тем, с какими они вошли бы в уравнение для узла.

По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу веток без источников тока (в — бит), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е.

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует окутать все ветки схемы, исключая только ветки с источниками тока.

Если попробовать составить уравнение по второму закону Кирхгофа в форме (2.4) для контура, в который заходит источник тока, то в него вошли бы нескончаемо огромные слагаемые и оно не имело бы смысла.

При записи линейно независящих уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, дабы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, заходила хотя бы одна новенькая ветвь, не вошедшая в прошлые контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся именовать независящими.

Требование, дабы в каждый новый контур заходила хотя бы одна новенькая ветвь, является достаточным, но не нужным условием, а поэтому его не всегда делают. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветки которых уже вошли в прошлые контуры.

Пример 10. Отыскать токи в ветвях схемы рис. 2.9, в какой .

Решение. Произвольно избираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис. 2.9, .

Поэтому, по первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравнение:

Несложно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим уравнения. Положительные направления обхода контуров избираем по часовой стрелке.

Символ плюс перед взят так как направление тока совпадает с направлением обхода контура; символ минус перед так как направление встречно обходу контура.

Совместное решение уравнений (а) — (в) дает .

Так как положительные направления токов выбирают произвольно, в итоге расчета какой-нибудь один либо несколько токов возможно окажутся отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи что следует осознавать так: направления токов не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис. 2.9 за положительные, т. е. в реальности токи проходят в оборотном направлении.

Для выбора контура таким макаром, дабы в любой из них входило по одной ветки, не входящей в другие контуры, применяют понятие дерева. Поддеревом понимают совокупа веток, касающихся всех узлов, но не образующих ни 1-го Замкнутого контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев. При составлении системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять хоть какое дерево из вероятных. Одно из вероятных деревьев схемы рис. 2.10, а изображено на рис. 2.10, б, а на рис. 2.10, в — четыре независящих контура, в любой из которых заходит по одной пунктиром показанной ветки, не входящей в другие. Более тщательно о топологии электрических схем см. § 2.31 — 2.35 и А.5 — А.10.

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

Закон Ома устанавливает зависимость между силой тока, напряжением и сопротивлением для простейшей электрической цепи, представляющей собой один замкнутый контур. В практике встречаются более сложные (разветвленные) электрические цепи, в каких имеются несколько замкнутых контуров и несколько узлов, к которым сходятся токи, проходящие по отдельным веткам. Значе­ния токов и напряжений для таких цепей можно отыскивать с помощью законов Кирхгофа.

Формулировка правил

Определения

Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел

,
ветвь
и
контур
электрической цепи. Ветвью именуют участок электрической цепи с одним и этим же током, к примеру, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1 есть ветвь. Узлом именуют точку соединения 3-х и поболее веток (на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый путь, проходящий через несколько веток и узлов разветвлённой электрической цепи. Термин
замкнутый путь
значит, что, начав с некоторого узла цепи и
однократно
пройдя по нескольким веткам и узлам, можно возвратиться в начальный узел. Ветки и узлы, проходимые при таком обходе, принято именовать принадлежащими данному контуру. При всем этом необходимо подразумевать, что ветвь и узел могут принадлежать сразу нескольким контурам.

Читайте также: Прокладка проводки в доме из газобетона

В определениях данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.

1-ое правило

Сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. i
2 +
i
3 =
i
1 +
i
4

1-ое правило Кирхгофа говорит, что алгебраическая сумма токов веток, сходящихся в каждом узле хоть какой цепи, равна нулю. При всем этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.

Другими словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда.

2-ое правило

2-ое правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) говорит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:

для неизменных напряжений ∑ k = 1 n E k = ∑ k = 1 m U k = ∑ k = 1 m R k I k ; ^E_=\sum _^U_=\sum _^R_I_;> для переменных напряжений ∑ k = 1 n e k = ∑ k = 1 m u k = ∑ k = 1 m R k i k + ∑ k = 1 m u L k + ∑ k = 1 m u C k . ^e_=\sum _^u_=\sum _^R_i_+\sum _^u_+\sum _^u_.>

Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в личном случае стационарного магнитного поля.

Другими словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, ворачивается к начальному значению. Личным случаем второго правила для цепи, состоящей из 1-го контура, является закон Ома для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура необходимо избрать положительное направление обхода контура. При всем этом падение напряжения на ветки считают положительным, если направление обхода данной ветки совпадает с ранее избранным направлением тока ветки, и отрицательным — в неприятном случае (см. дальше).

Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом нраве конфигурации во времени токов и напряжений.

1-ый закон

1-ый закон Кирхгофа устанавливает зависимость между то­ками для узлов электрической цепи, к которым подходит несколько веток. Согласно этому закону алгебраическая сумма токов веток, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

При всем этом токи, направленные к узлу, берут с одним знаком (к примеру, положительным), а токи, направленные от узла,— с обратным знаком (отрицательным). К примеру, для узла А

I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0 (17)

Это любопытно! Все о полупроводниковых диодиках.

Преобразуя это уравнение, получим, что сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от этого узла:

I1 + I2 + I3 = I4 + I5 (17′)

Читайте также: Систематизация обмоточных проводов

В этом случае имеет место полная аналогия с рассредотачиванием потоков воды в соединенных вместе трубопроводах.

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях случайного типа. Законы Кирхгофа имеют особенное значение в электротехнике из-за собственной универсальности, так как применимы для решения всех электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при неизменных и переменных напряжениях и токах.

1-ый закон Кирхгофа.

2-ой закон Кирхгофа устанавливает зависимость между э. д. с. и напряжением в замкнутой электрической цепи. Согласно этому закону во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур:

При составлении формул, характеризующих 2-ой закон Кирхгофа, значения э. д. с. E и падений напряжений IR считают положительными, если направления э. д. с. и токов на соответственных участках контура совпадают с произвольно избранным направлением обхода контура. Если же направления э. д. с. и токов на соответственных участках контура обратны избранному направлению обхода, то такие э. д. с. и падения напряжения считают отрицательными.

Разглядим в качестве примера электрическую цепь, в какой имеются два источника с электродвижущими силами E1 и E2, внутренними сопротивлениями Ro1, Ro2 и два приемника с сопротивлениями R1 и R2. Применяя 2-ой закон Кирхгофа для «этой цепи и выбирая направление ее обхода по часовой стрелке,

Будет интересно➡ Что такое электродвижущая сила (ЭДС) и как ее высчитать

E1 – E2 = IR01 + IR02 + IR1 + IR.

При всем этом э. д. с. E1 и ток I совпадают с избранным направлением обхода контура и числятся положительными, а э. д. с. Е2, обратная этому направлению, считается отрицательной. Если в электрической цепи э. д. с. источников электроэнергии при обходе соответственного контура ориентированы навстречу друг дружке (см. рис. 24, а), то такое включение именуют встречным. В данном случае на основании второго закона Кирхгофа ток I = (E1-E2)/(R1+R2+R01+R02).

Встречное направление э. д. с. имеет место, к примеру, на э. п. с.при включении электродвигателей неизменного тока (их можно рассматривать как некоторые источники э. д. с.) в две параллельные группы, также при параллельном включении аккумов в батарее.

Если же э. д. с. источников электроэнергии имеют по контуру однообразное направление (рис. 24, б), то такое включение именуют согласным и ток I = (E1-E2)/(R1+R2+R01+R02). В некоторых случаях такое включение неприемлимо, так как ток в цепи резко растет.

Читайте также: Типы и виды соединений проводки

Если в электрической цепи имеются ответвления (рис. 24, в), то по отдельным ее участкам проходят разные токи I1 и I2. Согласно второму закону Кирхгофа E1-E2=I1R01+I1R1-I2R2-I2R02-I2R3+I1R4.

При составлении этого уравнения э. д. с. Е1 и ток I1 числятся положительными, так как совпадают с принятым направлением обхода контура, э. д. с. Е2 и ток I2 — отрицательными.

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, обширно используются законы Кирхгофа, дозволяющие стопроцентно найти режим её работы.

Воспользуйтесь программкой онлайн-расчёта электрических цепей.

До того как перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение веток и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи именуется таковой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи именуется место (точка) соединения трёх и поболее веток. При обходе по соединённым в узлах веткам можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким веткам, при всем этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается менее 1-го раза [1].

1-ый закон Кирхгофа

1-ый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

либо в всеохватывающей форме

2-ой закон Кирхгофа

2-ой закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно Nу – 1, где Nу – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно Nв – Nу + 1, где Nв – число веток. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа просто найти по виду схемы: для этого довольно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует держать в голове, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Разглядим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала нужно задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).

Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в этом случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в этом случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока J1, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет смотреться следующим образом:

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет смотреться следующим образом:

Правило Кирхгофа — функции и примеры использования первого и второго правил

Правила Кирхгофа — физические законы, указывающие на связь между главными параметрами контура гальванической цепи: величинами тока и межузловыми напряжениями.

• 1-ое и 2-ое правила Кирхгофа
• Составление уравнений
• Решение задач
• Законы Кирхгофа в химии

Они были разработаны в 1845 г. на базе аксиом сохранения заряда в постоянном магнитном поле.

Законы Кирхгофа универсальны и используются при изготовлении механических устройств и электротехники.

1-ое и 2-ое правила Кирхгофа

Начальной функцией законов Кирхгофа является расчет электрических цепей.

Для описания законов вводятся следующие понятия:

1. Узел — точка, являющаяся местом соединения нескольких проводников гальванической цепи.
2. Ветвь — участок схемы цепи, расположенный между 2 узлами. По ней протекает электрический ток с различными зарядами, но одинаковой силой.
3. Контур — закрытый путь, пересекающий несколько веток и узлов разветвленной гальванической цепи.

Ветвь и узел в состоянии быть как частями одного контура, так и отдельными элементами нескольких замкнутых путей.

Формулировка первого правила Кирхгофа для разветвленных цепей: в электрических схемах с последовательным соединением источника и приемника энергии суммарное количество токов, текущих по направлению к узлу, эквивалентно общему числу токов, текущих по направлению от узлов. Поток энергии, направленный к узлу, является положительным. Поток частиц, направленных от узла, является отрицательным.

При сложении 2 обратно направленных токов с одинаковой величиной будет всегда получаться 0. Физический смысл первого закона состоит в том, что заряд не концентрируется в узлах гальванической схемы.

Другими словами, ток остается неизменным на всех участках цепи.

Для расчета силы неизменного тока применяется такая формула: I 1 =I 2 +I 3. При использовании первого правила для расчета переменного тока дополнительно используются величины моментального напряжения. Формула записывается в всеохватывающей форме с учетом активных и реактивных составляющих.

2-ой закон Кирхгофа является следствием 3 уравнения Максвелла, доказывающего отсутствие магнитных зарядов в природе. Определение второго правила Кирхгофа: на резисторах закрытого контура гальванической цепи сумма напряжений эквивалентна общему числу ЭДС (электродвижущей силы), рассчитанной для замкнутого пути. Если в составе электрической схемы не находятся приборы, вырабатывающие ЭДС, то сумма напряжений будет приравниваться 0.

Электродвижущая сила умеренно распределяется на всех узлах электрической цепи. Отдельным случаем второго правила является закон Ома, описывающий соотношение ЭДС и силы тока в проводнике.

2-ой закон применяется к переменному току.

В данном случае суммарное количество амплитуд ЭДС эквивалентно общей сумме падений напряжений на всех частях гальванической цепи.

При составлении линейных уравнений для второго закона нужно верно найти направление падения напряжений.

Для указания знака этой величины был разработан метод:

1. Отбирается направление обхода замкнутого пути. Падение способно двигаться по либо против часовой стрелки.
2. Выбирается направление движения потоков энергии, текущих через главные части электрической цепи.
3. Если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС, то ставится положительный символ. Если направления не совпадают, то ставится отрицательный знак.

При совершении полного обхода замкнутого пути величина электродвижущей силы воспринимает первоначальное значение.

Составление уравнений

При расчете электрической цепи с помощью правил Кирхгофа составляются уравнения токов. Количество уравнений находится в прямой зависимости от числа узлов в цепи. Они применяются для описания физических явлений и в промышленном секторе: при изготовлении жидкостных трубопроводов и электрических насосов.

При составлении уравнения необходимо управляться следующим методом:

1. Избрать направление потоков заряженных частиц на ветвях, обозначенных на электрической схеме.
2. Отобрать напряжения с одинаковым направлением обхода закрытого контура.
3. Избрать контуры с различными ветвями и узлами для использования второго правила.

Многие физики сталкиваются с трудностями при составлении линейных уравнений для гальванической цепи, расположенной в сложных непланарных графах — математических объектах с минорами, приобретенными с помощью стягивания 1 ребра. В данном случае для расчета электрической цепи нужно составить систему уравнений, где совмещены выражения как для первого, так и для второго законов Кирхгофа.

В них подсчет замкнутых путей осуществляется средством теории графов — раздела дискретной арифметики.

Для проверки корректности составления линейных применяется возможная диаграмма, представляющая собой графическое изображение. Она строится для контура гальванической цепи. Если точки начала и конца диаграммы владеют схожими потенциалами, независящими от направления движения тока, то уравнение составлено правильно.

Решение задач

В физике находится некоторое количество видов задач на законы Кирхгофа, где нужна отыскать или силу тока, или ЭДС источника энергии в гальванической цепи.

Примеры разобранных задач на правила Кирхгофа:

1. Дана электрическая схема, на которой изображены источники ЭДС и 3 резистора, соединенных параллельно. Нужно отыскать величину силы тока в цепи, если указаны значения сопротивления и электродвижущей силы. Вначале необходимо найти количество узлов и составить уравнение на базе первого закона. В данном случае входящие и выходящие потоки энергии числятся равными по модулю, но различными по направлению. Потом составляются уравнения с внедрением второго закона, беря во внимание значение ЭДС и сопротивления. После составления уравнения для всех контуров появляется система. Финишным шагом является подстановка узнаваемых величин в уравнение.
2. Дана гальваническая схема, где отображены 5 резисторов и гальванометров. Известны сопротивления 4 из них. Нужна отыскать силу тока для 1 — 4 резисторов и ЭДС для 4 гальванометра, если известна величина тока для 5 источника. Сначала составляется уравнение для первого закона. Получится 2 равенства. После составляются уравнения по второму правилу. Выходит 3 равенства для аналогичного количества контуров. В итоге получится система из 5 уравнений. Финишным шагом является решение системы с подстановкой узнаваемых значений.

Все задачи на законы Кирхгофа решаются способом составления уравнений, основываясь на 2 законах. Проверка результата осуществляется с помощью баланса мощностей.

Во время проведения вычислений рекомендуется применять онлайн-калькуляторы для работы с большенными числами.

Законы Кирхгофа в химии

Кирхгоф в течение долгого времени занимался исследованием химии, исследуя термические явления. Ученый разработал закон для определения коэффициента температуры при выделении теплоты во время воплощения хим реакции. Оно справедливо как для органических, так и для неорганических веществ. Для описания закона вводятся понятия изобарной и изохорной емкости, обозначаемые знаками CP и CV. Закон говорит, что температурный коэффициент хим реакции эквивалентен амплитуде конфигурации теплоемкости.

В дифференциальной форме закон определяет зависимость конфигурации термического эффекта от увеличения либо снижения температуры. Величина термического эффекта высчитывается с помощью закона Гесса, где учитывается тип реакции. Тепловыделение будет возрастать при эндотермических реакциях, уменьшаться — при экзотермических реакциях.

Во время расчета температуры принципиально учесть агрегатное состояние, настоящую либо среднюю теплоемкость, высококачественный состав и вид веществ, смешанных в растворе. Эти свойства являются табличными величинами и указаны в хим справочниках. На базе приобретенных данных составляется уравнение, устанавливающее аналитическую зависимость термического эффекта от значения температуры.

Видео: Законы Кирхгофа. Метод контурных уравнений